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                                               Gli Egizi conoscevano la Sezione Aurea?

                                                                                          di

                                                                             Adriano Gaspani

                                                               I.N.A.F - Istituto Nazionale di Astrofisica

                                                            Osservatorio Astronomico di Brera - Milano

                                                                      adriano.gaspani@brera.inaf.it

 

In matematica si indica con “sezione aurea” il rapporto fra due grandezze disuguali a e b , di cui la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la loro somma:

                                      (a+b) : a = a : b

Tale rapporto è un numero irrazionale e vale approssimativamente 1,618. Il valore esatto può essere ottenuto applicando la seguente formula:

                                    \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\approx 1{,}6180339887\,

Il numero ricavato che esprime la sezione aurea è, come già detto, un numero irrazionale, cioè rappresentabile con infinite cifre decimali, non tutte uguali a 0 oppure a 9 e quindi esso può essere approssimato, con accuratezza sempre maggiore, dal rapporto fra due termini successivi  di una particolare successione numerica nota come “successione di Fibonacci”, dovuta al matematico pisano Leonardo “Filius Bonaci”, attivo al tempo di Federico II di Svevia. Sia le sue interessanti proprietà matematiche, sia il fatto che tale numero sia stato molto frequentemente riconosciuto in maniera approssimata entro svariati contesti naturali, hanno impressionato nei secoli gli studiosi, tanto che tradizionalmente venne attribuito a tale rapporto numerico un ideale di bellezza e armonia, tanto che ha assunto gli appellativi di "rapporto aureo" o "divino". Vediamo ora di dire qualche parola in relazione alla storia di questo particolare numero il quale rivestì immancabilmente un grande fascino per gli studiosi, più o meno seri. La scoperta del rapporto aureo, secondo Giamblico, viene tradizionalmente attribuita a Ippaso di Metaponto attorno al VI secolo a.C., un esponente della scuola pitagorica fiorita nell’Italia meridionale. L'aura magica che i pitagorici associavano al numero 5, e a tutto ciò che vi fosse legato, può spiegare come il rapporto aureo potesse apparire ai loro occhi tanto affascinante, pur ignorandone ancora gran parte delle proprietà matematiche, e giustificare in parte l’alone di mistero che lo ha avvolto sin dalla sua scoperta fino ai nostri giorni.

 

        Le piramidi della Piana di Giza in Egitto: sullo sfondo la piramide di Cheope

La più antica testimonianza scritta in relazione al numero aureo la troviamo  nel XIII libro degli Elementi di Euclide, redatto intorno al 300 a.C., a proposito della costruzione del pentagono regolare: egli fornisce la definizione di divisione di un segmento in "media e ultima ragione" (gr. ἄκρος καὶ μέσος λόγος). Tale divisione è basata sul semplice concetto di medio proporzionale: un segmento \overline{AB}è infatti diviso in media e ultima ragione dal punto C' se il segmento \overline{AC'}ha con \overline{AB}lo stesso rapporto che \overline{C'B}ha con esso, cioè se:

                                         \overline{AB} / \overline{AC'} = \overline{AC'} / \overline{C'B}

 

Dopo il declino del periodo ellenistico trascorsero però circa altri mille anni prima che i matematici ne mettessero in luce le proprietà algebriche.  Nel 1202 Leonardo Fibonacci pubblicò il Liber abaci, il libro di carattere commerciale e prevalentemente dedicato ai mercanti  col quale si diffonderanno nell’ambiente laico europeo le cifre indo-arabe (in ambiente monastico esse erano già note da un paio di secoli ad opera di Gerberto d’Aurillac, diventato papa nel 999 con il nome di Silvestro II) semplificando le modalità di calcolo nelle operazioni quotidiane. A competa insaputa di Leonardo pisano, anche la successione che porta il suo nome è strettamente connessa alla sezione aurea ed al numero d’oro. Il rinnovato interesse per il numero aureo in epoca rinascimentale si deve alla diffusione di un altro libro: il “De divina proporzione” composto dal Fra Luca Pacioli dal Borgo, pubblicato a Venezia nel 1509 e corredato di disegni di solidi platonici eseguiti da Leonardo da Vinci, suo amico. In quel testo si divulgava a una vasta platea di intellettuali l'esistenza del numero aureo e delle sue innumerevoli proprietà, fino ad allora note solamente ad una stretta cerchia di specialisti. Il medesimo libro scalzava inoltre la definizione euclidea, unica dicitura col quale il numero veniva chiamato, reinventandone una completamente nuova di “proporzione divina”, dove l'aggettivo "divina" è dovuto ad un accostamento tra la proprietà di irrazionalità del numero, che lo rende compiutamente inesprimibile per mezzo di una frazione, e l'inconoscibilità del divino per mezzo della ragione umana. La relazione tra il numero aureo e la serie di Fibonacci, rimasta però ignota anche a Luca Pacioli e  fu scoperta nel 1611 da Keplero il quale aveva scoperto che il rapporto fra due numeri consecutivi della serie di Fibonacci approssimava gradualmente, ma in modo sempre più accurato, il numero aureo. Keplero, da buon astronomo, non era  interessato a dimostrare la fondatezza della sua scoperta, ma piuttosto a riconoscerla nell'architettura dell'Universo allora conosciuto. Egli concepì un modello eliocentrico del Sistema Solare in cui le orbite dei pianeti erano inscritte e circoscritte entro i solidi platonici e di conseguenza legate alla divina proporzione. La dimostrazione fu fornita un secolo più tardi dal matematico Robert Simson e ulteriormente sancita dalla scoperta della formula  generatrice dei termini successivi della serie di Fibonacci ad opera di Jacques Binet, anche se è probabile che  tale relazione matematica fosse già nota al matematico svizzero Leonardo Eulero. Se per molto tempo la sezione aurea venne conosciuta con la definizione euclidea di proporzione media ed estrema, per poi assumere l'aggettivo divina dopo la pubblicazione dell'opera di Pacioli, non è altrettanto certa l'origine della sua definizione come "aurea". Nonostante la diffusa ed errata credenza che tale denominazione fosse note  fin dall'antica Grecia, gli studiosi di storia della matematica la collocano più verosimilmente attorno al XV - XVI secolo. La prima testimonianza scritta rintracciabile sembra però risalire solo al 1835 nell’opera Die Reine Elementar-Mathematik, in cui il matematico tedesco Martin Ohm scrive «è chiamata "sezione aurea"», specificando quindi di usare un'espressione già discretamente diffusa. La nuova denominazione si diffuse largamente nei primi anni del 1800, trovando sempre maggiori riferimenti nelle opere redatte in epoca successiva. La sezione aurea si diffuse nel XIX secolo anche nel campo dell'arte. Un particolare contributo alla sua diffusione è dovuto dalla convinzione che la proporzione aurea, in particolare il rettangolo aureo, rappresentasse un canone estetico generale, per la sua ricorrenza in natura, e quindi conferisse un senso di armonia. Dal punto di vista puramente matematico, nel XX secolo la disponibilità dei computer ed il conseguente potenziamento delle capacità di calcolo, hanno permesso di ottenere stime sempre più precise del numero irrazionale che rappresenta il rapporto aureo. Il primo tentativo venne effettuato nel 1966 da M. Berg con un IBM 1401, calcolandolo fino alla 4599a cifra, e successivamente, sempre nello stesso anno, fino alla diecimilionesima. Dal punto di vista storico vi sono diverse questioni aperte riguardo quali e se effettivamente siano esistiti prima dei greci, popoli che conoscessero la sezione aurea e che effettivamente l’abbiano utilizzata nelle loro opere architettoniche, i casi più importanti sono quelli legati alle popolazioni mesopotamiche ed agli Egizi. Alcune tavolette babilonesi, riportanti calcoli computazionali, testimoniano che essi possedevano conoscenze sia matematiche che geometriche tali da poter ottenere buone approssimazioni dell'area del pentagono e perfino di “pi greco”, mancano tuttavia prove sicure circa la loro effettiva conoscenza della sezione aurea; nonostante questo eminenti studiosi, fra cui Michael Scheneider e Helen Hedian, sostengono che essa sia presente su alcune steli e bassorilievi. Le affermazioni sulla conoscenza del rapporto aureo in epoca pre-ellenica coinvolgono anche gli antichi Egizi, sull'ondata di una fervente e misticheggiante letteratura ottocentesca, che fra l'altro attribuiva loro  conoscenze matematiche ben più avanzate di quanto non fosse vero e documentato. Secondo un certo tipo di studiosi le tracce di ciò sarebbero tutt'oggi rilevabili nei resti di numerosi importanti monumenti tra cui le piramidi, in particolare la famosa piramide di Cheope. Il caso largamente più dibattuto riguardante l'Egitto è però la presunta presenza della sezione aurea nei rapporti dimensionali della Piramide di Cheope posta nella piana di Giza. Il mito esoterico-numerologico che circonda la Grande piramide ed ancora vivo anche oggi, nacque in seguito all'opera di John Taylor, “The great pyramid: why was it built and who built it?” (La grande piramide: perché fu costruita e chi la costruì), pubblicata nel 1859, e purtroppo condivisa e sostenuta  dall’astronomo britannico, Charles Piazzi Smyth, appassionato di piramidi egizie.

                                        La presunta  geometria della grande piramide 

Secondo loro, il rapporto aureo sussisterebbe fra il semilato della piramide e l'altezza della facciata triangolare costruibile sulla stessa, il che porterebbe a un'inclinazione teorica della facciata approssimativamente pari a 51° 49'. La piramide reale ha una altezza totale di circa 147 metri e  quattro lati di 230 metri ciascuno. Questo implica che l’angolo di inclinazione delle pareti  sia pari a 51º 50' 35", estremamente simile all'inclinazione teorica prevista con il rapporto aureo: 1,6229 invece che 1.618… Si tratta anche in questo caso valore relativamente vicino a quello teorico: la differenza è solo dello 0,3%, apparentemente una differenza molto esigua, ma non tale da considerala una prova esplicita della reale conoscenza della sezione aurea da parte dei costruttori delle piramidi.

Frammento del Papiro Rhind, conservato al British Museum di Londra, relativo alla soluzione dei problemi geometrici 56-60 relativi ai triangoli.

Senza effettive prove documentarie siamo autorizzati ad affermare che l’approssimazione al rapporto aureo sia solo un'inconsapevole conseguenza del modo in cui la grande piramide fu  costruita. Nel XIX secolo, l'astronomo britannico John Herschel, figlio dello scopritore del pianeta Urano, scriveva, citando Erodoto, che la «Piramide [di Cheope è] caratterizzata dalla proprietà di avere ciascuna delle facce uguale al quadrato costruito dell'altezza», ma il passo di Erodoto non dice espressamente questo. Nelle Storie, libro II, 124, 5 è detto: ”Per la costruzione della piramide occorsero vent’anni. Essa è quadrata. Presenta da tutti i lati una faccia di otto plettri, un’altezza uguale. E’ di pietre levigate e perfettamente connesse, di cui nessuna misura meno di trenta piedi.”  Orbene, il plettro egizio doveva misurare circa 30 metri. Il lato della piramide è, in realtà, di poco inferiore a quello indicato da Erodoto (230 anziché 240 metri). Il dato relativo all’altezza è chiaramente  inesatto, infatti la piramide di Cheope è alta 147 metri ed anche l’altezza dei lati obliqui è circa 185 metri. Nemmeno trova riscontro la notizia secondo la quale nessuna pietra misurerebbe meno di circa 9 metri equivalenti a 30 piedi egizi.  Le misure della piramide: 1472 = 21609 e 115 × 186,64 = 21463.6, sono abbastanza simili, ma questo non può essere in alcun modo utilizzato come prova esplicita della conoscenza del rapporto aureo da parte degli Egizi, come invece, nel migliore dei casi, viene lasciato credere. In Erodoto, di fatto, non esiste alcun riferimento al "quadrato dell'altezza", ma soltanto misurazioni approssimative. Alcune possibili spiegazioni tecniche dell’approssimazione al rapporto aureo sono state messe in relazione con le modalità costruttive: una proposta da Gillings, sulla base dei problemi 56 e 60 contenuti nel famoso Papiro Rhind basati sui seked, una unità di misura egiziana dell'inclinazione delle superfici laterali. Gillings sostiene che il rapporto aureo deriverebbe dalla necessità tecnica di tenere una certa inclinazione costante della parete durante tutta la costruzione della piramide. Un’altra spiegazione, considerata più attendibile, è fornita invece da Kurt Mendelssohn secondo cui gli Egizi utilizzavano 2 diverse unità di misura: una per grandezze verticali, il cubito, e una per quelle orizzontali, un rullo dal diametro di cubito la cui circonferenza è uguale a 3.1415… cubiti, dalla combinazione dell’utilizzo delle due differenti unità di misura emergerebbe naturalmente una buona approssimazione del numero aureo. Sia, quindi, che la presenza della sezione aurea derivi dal tentativo di costruire una piramide con le peculiarità attribuite ad essa da alcuni dagli scritti di Erodoto, sia che essa derivi puramente da alcune coincidenze costruttive, appare estremamente improbabile che la codifica del rapporto aureo nella piramide di Cheope possa deriva da una precisa e voluta scelta degli architetti egizi e quindi dalla loro conoscenza di tale “numero magico”.

(Autore:Adriano Gaspani, redatto nell'aprile2009)

 

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